斐波那契数列求解-重新看递归

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前言

假如面试官让你编写求斐波那契数列的代码时，是不是心中暗喜?不就是递归么，早就会了。如果真这么想，那就危险了。

递归求斐波那契数列

递归，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
斐波那契数列的计算表达式很简单：

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F(n) = n; n = 0,1
F(n) = F(n-1) + F(n-2),n >= 2;

因此，我们能很快根据表达式写出递归版的代码：

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/*fibo.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契数列递归版*/
unsigned long fibo(unsigned long int n)
{
    if(n <= 1)
        return n;
    else 
        return fibo(n-1) + fibo(n-2);
}
int main(int argc,char *argv[])
{
    if(1 >= argc)
    {
       printf("usage:./fibo num\n");
       return -1;
    }
    unsigned long  n = atoi(argv[1]);
    unsigned long  fiboNum = fibo(n);
    printf("the %lu result is %lu\n",n,fiboNum);
    return 0;
}

关键代码为3~9行。简洁明了，一气呵成。
编译：

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gcc -o fibo fibo.c

运行计算第5个斐波那契数：

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$ time ./fibo 5
the 5 result is 5

real    0m0.001s
user    0m0.001s
sys    0m0.000s

看起来并没有什么不妥，运行时间也很短。
继续计算第50个斐波那契数列：

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$ time ./fibo 50
the 50 result is 12586269025

real    1m41.655s
user    1m41.524s
sys    0m0.076s

计算第50个斐波那契数的时候，竟然将近两多钟！

递归分析

为什么计算第50个的时候竟然需要1分多钟。我们仔细分析我们的递归算法，就会发现问题，当我们计算fibo(5)的时候，是下面这样的：

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                  |--F(2)|
           |--F(3)|      |--F(0)
           |      |
    |--F(4)|      |--F(1)
    |      |      
    |      |      |--F(1)
    |      |--F(2)|
    |             |--F(0)
F(5)|             
    |             |--F(1)
    |      |--F(2)|
    |      |      |--F(0)
    |--F(3)|
           |
           |--F(1)

为了计算fibo(5)，需要计算fibo(3)，fibo(4)；而为了计算fibo(4)，需要计算fibo(2)，fibo(3)……最终为了得到fibo(5)的结果，fibo(0)被计算了3次，fibo(1)被计算了5次，fibo(2)被计算了2次。可以看到，它的计算次数几乎是指数级的！

因此，虽然递归算法简洁，但是在这个问题中，它的时间复杂度却是难以接受的。除此之外，递归函数调用的越来越深，它们在不断入栈却迟迟不出栈，空间需求越来越大，虽然访问速度高，但大小是有限的，最终可能导致栈溢出。
在linux中，我们可以通过下面的命令查看栈空间的软限制：

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$ ulimit -s
8192

可以看到，默认栈空间大小只有8M。一般来说，8M的栈空间对于一般程序完全足够。如果8M的栈空间不够使用，那么就需要重新审视你的代码设计了。

递归改进版

既然我们知道最初版本的递归存在大量的重复计算，那么我们完全可以考虑将已经计算的值保存起来，从而避免重复计算，该版本代码实现如下：

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/*fibo3.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契数列，避免重复计算版本*/
unsigned long fiboProcess(unsigned long *array,unsigned long n)
{
    if(n < 2)
        return n;
    else
    {
        /*递归保存值*/
        array[n] = fiboProcess(array,n-1) + array[n-2];
        return array[n];
    }
}

unsigned long  fibo(unsigned long  n)
{
    if(n <= 1)
        return n;
    unsigned long ret = 0;
    /*申请数组用于保存已经计算过的内容*/
    unsigned long *array = (unsigned long*)calloc(n+1,sizeof(unsigned long));
    if(NULL == array)
    {
        return -1;
    }
    array[1] = 1;
    ret = fiboProcess(array,n);
    free(array);
    array = NULL;
    return ret;
}
/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

效率如何呢？

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$ gcc -o fibo0 fibo3.c
$ time ./fibo0 50
the 50 result is 12586269025

real    0m0.002s
user    0m0.002s
sys    0m0.001s

可见其效率还是不错的，时间复杂度为O(n)。但是特别注意的是，这种改进版的递归，虽然避免了重复计算，但是调用链仍然比较长。

迭代解法

既然递归法不够优雅，我们换一种方法。如果不用计算机计算，让你去算第n个斐波那契数，你会怎么做呢？我想最简单直接的方法应该是：知道第一个和第二个后，计算第三个；知道第二个和第三个后，计算第四个，以此类推。最终可以得到我们需要的结果。这种思路，没有冗余的计算。基于这个思路，我们的C语言实现如下：

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/*fibo1.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契数列迭代版*/
unsigned long  fibo(unsigned long  n)
{
    unsigned long  preVal = 1;
    unsigned long  prePreVal = 0;
    if(n <= 2)
        return n;
    unsigned long  loop = 1;
    unsigned long  returnVal = 0;
    while(loop < n)
    {
        returnVal = preVal +prePreVal;
        /*更新记录结果*/
        prePreVal = preVal;
        preVal = returnVal;
        loop++;
    }
    return returnVal;
}
/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

编译并计算第50个斐波那契数：

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$ gcc -o fibo1 fibo1.c
$ time ./fibo1 50
the 50 result is 12586269025

real    0m0.002s
user    0m0.001s
sys    0m0.002s

可以看到，计算第50个斐波那契数只需要0.002s！时间复杂度为O(n)。

尾递归解法

同样的思路，但是采用尾递归的方法来计算。要计算第n个斐波那契数，我们可以先计算第一个，第二个，如果未达到n，则继续递归计算，尾递归C语言实现如下：

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/*fibo2.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契数列尾递归版*/
unsigned long fiboProcess(unsigned long n,unsigned long  prePreVal,unsigned long  preVal,unsigned long begin)
{
    /*如果已经计算到我们需要计算的，则返回*/
    if(n == begin)
        return preVal+prePreVal;
    else
    {
        begin++;
        return fiboProcess(n,preVal,prePreVal+preVal,begin);
    }
}

unsigned long  fibo(unsigned long  n)
{
    if(n <= 1)
        return n;
    else 
        return fiboProcess(n,0,1,2);
}

/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

效率如何呢？

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$ gcc -o fibo2 fibo2.c
$ time ./fibo2 50
the 50 result is 12586269025

real    0m0.002s
user    0m0.001s
sys    0m0.002s

可见，其效率并不逊于迭代法。尾递归在函数返回之前的最后一个操作仍然是递归调用。尾递归的好处是，进入下一个函数之前，已经获得了当前函数的结果，因此不需要保留当前函数的环境，内存占用自然也是比最开始提到的递归要小。时间复杂度为O(n)。

矩阵快速幂解法

这是一种高效的解法，需要推导，对此不感兴趣的可直接看最终推导结果。下面的式子成立是显而易见的，不多做解释。

如果a为矩阵，等式同样成立，后面我们会用到它。
假设有矩阵2*2矩阵A，满足下面的等式：

可以得到矩阵A：

因此也就可以得到下面的矩阵等式：

再进行变换如下：

以此类推，得到：

实际上f(n)就是矩阵$ A^{n-1} $中的A[0][0],或者是矩阵$ A^{n} $中的A[0][1]。

那么现在的问题就归结为，如何求解$A^n$，其中A为2*2的矩阵。根据我们最开始的公式，很容易就有思路，代码实现如下：

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/*fibo3.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAX_COL 2
#define MAX_ROW 2
typedef unsigned long MatrixType;
/*计算2*2矩阵乘法，这里没有写成通用形式，有兴趣的可以自己实现通用矩阵乘法*/
int matrixDot(MatrixType A[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType B[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType C[MAX_ROW][MAX_COL])
{
   /*C为返回结果，由于A可能和C相同，因此使用临时矩阵存储*/
    MatrixType tempMa[MAX_ROW][MAX_COL] ;
    memset(tempMa,0,sizeof(tempMa));
    /*这里简便处理*/
    tempMa[0][0] = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B [1][0];
    tempMa[0][1] = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B [1][1];
    tempMa[1][0] = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B [1][0];
    tempMa[1][1] = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B [1][1];
    memcpy(C,tempMa,sizeof(tempMa));
   
    return 0;
}
MatrixType fibo(int n){
    if(n <= 1)
        return n;
    MatrixType result[][MAX_COL] = {1,0,0,1};
    MatrixType A[][2] = {1,1,1,0};
    while (n > 0) 
    {
        /*判断最后一位是否为1，即可知奇偶*/
        if (n&1) 
        {
            matrixDot(result,A,result);

        }
        n /= 2;
        matrixDot(A,A,A);
    }
    return result[0][1];
}
/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

该算法的关键部分在于对$A^n$的计算,它利用了我们开始提到的等式，对奇数和偶数分别处理。假设n为9，初始矩阵为INIT则计算过程如下：

  • 9为奇数，则计算INIT*A，随后A变为A*A，n变为9/2，即为4
  • 4为偶数，则结果仍为INIT*A，随后A变为$(A^2)*(A^2)=A^4$，n变为4/2，即2
  • 2为偶数，则结果仍未INIT*A,随后变A变为 $(A^4)*(A^4)=A^8$,n变为2/2，即1
  • 1为奇数，则结果为INIT*(A^8)*A

可以看到，计算次数类似与二分查找次数，其时间复杂度为O(logn)。
运行试试看：

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$ gcc -o fibo3 fibo3.c
$ time ./fibo3 50
the 50 result is 12586269025

real    0m0.002s
user    0m0.002s
sys    0m0.000s

通项公式解法

斐波那契数列的通项公式为：

关于通项公式的求解，可以当成一道高考数列大题，有兴趣的可以尝试一下（提示：两次构造等比数列）。C语言代码实现如下：

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/*fibo4.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
unsigned long fibo(unsigned long n)
{
    if(n <=1 )
        return n;
    return (unsigned long)((pow((1+sqrt(5))/2,n)-pow((1-sqrt(5))/2,n))/sqrt(5));
}
/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

来看一下效率：

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$ gcc -o fibo4 fibo4.c -lm
$ time ./fibo4
the 50 result is 12586269025

real    0m0.002s
user    0m0.002s
sys    0m0.000s

计算第50个，速度还不错。

列表法

如果需要求解的斐波那契数列的第n个在有限范围内，那么完全可以将已知的斐波那契数列存储起来，在需要的时候读取即可，时间复杂度可以为O(1)。

斐波那契数列应用

关于斐波那契数列在实际中很常见，数学上也有很多奇特的性质，有兴趣的可在百科中查看。

总结

总结一下递归的优缺点：
优点：

  • 实现简单
  • 可读性好

缺点：

  • 递归调用，占用空间大
  • 递归太深，易发生栈溢出
  • 可能存在重复计算

可以看到，对于求斐波那契数列的问题，使用一般的递归并不是一种很好的解法。
所以，当你使用递归方式实现一个功能之前，考虑一下使用递归带来的好处是否抵得上它的代价。

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